Cómo simplificar y dividir la ecuación 246-dinger schr & # hidrógeno

En la física cuántica, es posible que necesite para simplificar y dividir la Schr # 246-dinger ecuación de hidrógeno. Aquí está la Schr # 246-dinger ecuación mecánica cuántica habitual para el átomo de hidrógeno:

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El problema es que usted está tomando en cuenta la distancia que el protón es desde el centro de la masa del átomo, por lo que la matemática es desordenado. Si se va a suponer que el protón es estacionaria y que rp = 0, esta ecuación se vendría abajo a la siguiente, que es mucho más fácil de resolver:

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Por desgracia, esa ecuación no es exacta porque ignora el movimiento del protón, por lo que ver la versión más completa de la ecuación en la mecánica cuántica textos.

Para simplificar el Schr # 246-dinger ecuación de costumbre, se cambia al centro de masa coordenadas. El centro de masa del sistema de protón / electrón es en esta ubicación:

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Y el vector entre el electrón y el protón es

r = re - rp

El uso de vectores R y r en lugar de re y rp hace que el Schr # 246-dinger ecuación más fácil de resolver. El Laplaciano para R es

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Y el Laplaciano de r es

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¿Cómo se puede relacionar

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a de la ecuación habitual

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Después de que el álgebra se asienta, se obtiene

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donde M = me + mp es la masa total y

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se llama la masa reducida. Cuando juntas las ecuaciones para el centro de la masa, el vector entre el protón y el electrón, la masa total, y m, entonces el Schr # 246-dinger ecuación independiente del tiempo se convierte en la siguiente:

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A continuación, dados los vectores, R y r, el potencial está dada por,

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El Schr # 246-dinger ecuación se convierte en

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Esto se ve más fácil - la principal mejora es que ahora tienes |r| en el denominador del término de energía potencial más que |re - rp|.

Debido a que la ecuación contiene términos que implican cualquiera R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que usted puede buscar una solución de la siguiente forma:

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Sustituyendo la ecuación anterior en la que antes de que te da el siguiente:

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Y dividiendo esta ecuación por

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te dio

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Bien bien bien. Esta ecuación tiene términos que dependen de cualquiera

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pero no ambos. Esto significa que puede separar esta ecuación en de dos ecuaciones, como este (donde la energía total, E, es igual a ER + Er):

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Multiplicando

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te dio

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Y multiplicando

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te dio

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Ahora tienes dos Schr # ecuaciones 246-Dinger, que se puede resolver de forma independiente.


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