¿Cómo encontrar el volumen de una forma cilíndrica con el método anidados-ruso-muñecas de la integración

Integración que permite calcular los volúmenes de una infinita variedad de formas complicadas que no se puede manejar con una geometría regular. Usted puede cortar un sólido en cilindros concéntricos delgadas y luego sumar los volúmenes de todos los cilindros. Es un poco como cómo esas muñecas rusas anidados encajan unas dentro de otras. O imaginar una lata de sopa que tiene de alguna manera muchas etiquetas de papel, cada una cubriendo el bajo ella. O imaginar una de esas ropas-linters de con los papeles pegajosos que despegarse. Cada sopa puede etiquetar o un pedazo de papel adhesivo es una carcasa cilíndrica - antes rompo, por supuesto. Después se desgarra si fuera poco, es un rectángulo normal.

Aquí hay un problema: Un sólido se genera mediante la adopción de la zona delimitada por la X-eje,

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y luego girándola sobre la y-eje. La siguiente figura muestra la idea. La zona gris claro es la forma que ha sido girado por la y-eje para crear todo el sólido 3-D.

Una forma algo así como el Coliseo romano y una de sus conchas representativas.
Una forma algo así como el Coliseo romano y una de sus conchas representativas.

¿Cuál es el volumen?


  1. Determinar el área de una carcasa cilíndrica representativo.

    Cuando imaginando una cáscara representante, se centran en una cáscara que es en ningún lugar en particular. La figura muestra una concha como genérico. Su radio es desconocida, X, y su altura es la altura de la curva en X, a saber e a la potencia de X. Si, en cambio, se utiliza una concha especial como el más exterior cáscara con un radio de 3, es más probable que cometa el error de pensar que una cáscara representante tiene alguna conocido radio como 3 o una conocido altura como e a la potencia de 3. Tanto el radio y la altura son desconocido.

    Cada shell representante, al igual que la sopa se puede etiquetar o la hoja adhesiva de un de-linter, es sólo un rectángulo cuya área es, por supuesto, largo veces ancho.

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    Así que ahora usted tiene la fórmula general para el área de un shell representante:

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  2. Multiplique la zona por el grosor de la cáscara, dx, para obtener su volumen.

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  3. Sume los volúmenes de todas las conchas de 2 a 3 mediante la integración.

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Con cáscaras cilíndricas, no siempre está claro cuáles son los límites de la integración debe ser. Aquí tienes un consejo. A integrar desde el derecho borde del cilindro más pequeño hasta el derecho borde de un cilindro. Y tenga en cuenta que nunca se integra desde el borde izquierdo al borde derecho de los más grandes del cilindro (como -3-3).


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