Trabajar con tres dimensiones osciladores armónicos

En la física cuántica, cuando se está trabajando en una dimensión, la partícula en general oscilador armónico se parece a la figura que se muestra aquí, donde la partícula se encuentra bajo la influencia de una fuerza de recuperación - en este ejemplo, se muestra como un resorte.

Un oscilador armónico.
Un oscilador armónico.

La fuerza de recuperación tiene la forma FX = -kXX en una dimensión, donde kX es la constante de proporcionalidad entre la fuerza sobre la partícula y la ubicación de la partícula. La energía potencial de la partícula como una función de la ubicación X es

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Esto también es a veces escrito como

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Ahora echa un vistazo al oscilador armónico en tres dimensiones. En tres dimensiones, el potencial se ve así:

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Ahora que tiene un formulario para el potencial, se puede empezar a hablar en términos de la ecuación Schr # 246-dinger:

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Sustituyendo en el potencial en tres dimensiones, V (x, y, z), Le da esta ecuación:

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Tome esta dimensión por dimensión. Porque se puede separar el potencial en tres dimensiones, se puede escribir

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Por lo tanto, la Schr # 246-dinger ecuación tiene este aspecto para X:

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Resolviendo esta ecuación, se obtiene la siguiente solución:

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dónde

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y nX = 0, 1, 2, y así sucesivamente. El HnX término indica un polinomio de Hermite, que se ve así:

  • H0(X) = 1

  • H1(X) = 2X

  • H2(X) = 4X2 - 2

  • H3(X) = 8X3 - 12X

  • H4(X) = 16X4 - 48X2 + 12

  • H5(X) = 32X5 - 160X3 + 120X


Por lo tanto, se puede escribir la función de onda como esto:

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Esa es una forma relativamente fácil para una función de onda, y todo es posible gracias al hecho de que se puede separar el potencial en tres dimensiones.

¿Qué pasa con la energía del oscilador armónico? La energía de un oscilador armónico unidimensional es

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Y, por analogía, la energía de un oscilador armónico tridimensional está dada por

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Tenga en cuenta que si usted tiene un oscilador armónico isótropo, donde

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la energía se ve así:

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En cuanto al potencial cúbico, la energía de un oscilador armónico isotrópica 3D es degenerada. Por ejemplo, E112 = E121 = E211. De hecho, es posible tener más de degeneración triple para un oscilador armónico isotrópica 3D - por ejemplo, E200 = E020 = E002 = E110 = E101 = E011.

En general, la degeneración de un oscilador armónico es isotrópica 3D

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dónde n = nX + ny + nz.




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