Cómo utilizar un ángulo de referencia para encontrar ángulos de soluciones

En pre-cálculo, a usar funciones trigonométricas para resolver ecuaciones algebraicas. Cuando encuentre el valor del ángulo en una ecuación, que es el ángulo que es una solución a la ecuación, se utiliza que como el ángulo de referencia para encontrar otros ángulos en el círculo unidad, que también serán soluciones a la ecuación. Por lo general, usted puede encontrar dos, pero usted puede encontrar ninguno, uno o más de dos.

Usted puede utilizar su conocimiento de las funciones trigonométricas a hacer una conjetura sobre el número de soluciones de una ecuación puede tener. Si los valores de seno o coseno son mayores que 1 o menor que -1, por ejemplo, la ecuación no tiene soluciones.

Recuerda: Primer Theta,

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es el nombre dado al ángulo de referencia, y theta,

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es la solución real a la ecuación, así que usted puede encontrar soluciones mediante el uso de las siguientes reglas de cuadrante, como se muestra en la figura:

Encontrar el ángulo de solución, dado el ángulo de referencia.
Encontrar el ángulo de solución, dado el ángulo de referencia.
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Cuando vea una ecuación trigonométrica que le pide que resolver para un ángulo desconocido, se mueve hacia atrás de lo que te dan para llegar a una solución que tiene sentido. Esta solución debe estar en la forma de una medición de ángulo, y la ubicación del ángulo debe estar en el cuadrante correcto. El conocimiento de la circunferencia unidad viene muy bien aquí porque vas a estar pensando en ángulos que cumplan con los requisitos de la ecuación dada.

Supongamos que se le pide resolver 2 cos X = 1. Para resolver, es necesario pensar en qué ángulos en el círculo unitario tener valores coseno que equivalen a 1 cuando se multiplica por 2. Siga estos pasos:


  1. Aislar la función trigonométrica en un lado.

    A resolver para cos X dividiendo ambos lados por 2: cos X = 1/2.

  2. Determinar qué cuadrantes sus soluciones se encuentran en.

    Teniendo en cuenta que el coseno es una X valor, se dibuja cuatro triángulos - uno en cada cuadrante - con el X-piernas ejes etiquetados 1/2 ó -1/2. La siguiente figura muestra estos cuatro triángulos.

    Los dos triángulos de la izquierda tienen un valor de -1 / 2 para el tramo horizontal, no un medio. Por lo tanto, puede eliminarlos. Sus soluciones están en los cuadrantes I y IV.

    Estos cuatro triángulos ayudan a localizar las soluciones.
    Estos cuatro triángulos ayudan a localizar las soluciones.
  3. Rellene los valores de la pierna que faltan para cada triángulo.

    Ya has marcado la X-piernas eje. Con base en el conocimiento del círculo unitario y triángulos especiales, usted sabe que el lado paralelo a la y-eje tiene que ser

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    y que la hipotenusa es 1. La siguiente figura muestra los dos triángulos marcados.

    Los dos triángulos de soluciones en el círculo unitario.
    Los dos triángulos de soluciones en el círculo unitario.
  4. Determinar el ángulo de referencia.

    En los triángulos rectángulos especiales, una longitud lateral de un medio es la pata corta de un triángulo rectángulo 30-60-90 grados. Por lo tanto, el coseno (o la parte a lo largo del X-eje) es la pata corta y la pierna vertical es el largo de la pierna. Así que el vértice del ángulo en el centro de la unidad de círculo tiene una medida de 60 grados, por lo que el ángulo de referencia

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  5. Expresar las soluciones en forma estándar.

    El ángulo de referencia es

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    La primera solución de cuadrante es el mismo que el ángulo de referencia:

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    La solución cuarto cuadrante es

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